APORTES PARA LA INTEGRACIN DE LA MATEMTICA EN EL
MUNDO JURDICO
Matas Mascitti[1]
Qu hay de exacto en las matemticas
sino la exactitud? Y sa, no es acaso
una consecuencia del sentido interno de
la verdad? (Johann Wolfang Goethe).
I- El mundo est impregnado de matemtica, convertida en lugar comn en una era tecnolgica como la actual, es una expresin vlida para todas las pocas humanas, tan consustanciados estn el contar y el comparar con las especficas actividades del hombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos. Por consiguiente, en la mente y en la accin del hombre de las primeras etapas de la humanidad no estn ausentes los nmeros ms simples, las formas ms elementales y la ordenacin ms visible de las cosas; es decir estn prefigurados los conceptos bsicos de la matemtica: nmero, medida y orden.[2]
Aproximadamente hasta quinientos aos antes de Cristo, la matemtica era, exclusivamente, el estudio de los nmeros. Luego, durante el perodo que abarc desde el ao quinientos antes de Jesucristo hasta el ao trescientos despus de Cristo, los matemticos griegos demostraron preocupacin e inters por el estudio de la geometra; de ese modo, elevaron la matemtica al estudio de los nmeros y tambin de las formas. Posteriormente, no hubo demasiados cambios en la evolucin de la matemtica hasta mediados del siglo XVII, cuando surgieron simultneamente Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania, creadores del clculo. En consecuencia, la matemtica se convirti en el estudio de los nmeros, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio. A partir de la mitad del siglo XVIII naci el inters por la matemtica como objeto de estudio. La explosin de la actividad matemtica ocurrida en el siglo XIX fue imponente. Finalmente, hace veinte aos naci la propuesta de una definicin de la matemtica que tuvo –y todava tiene- bastante consenso entre los matemticos: la matemtica es la ciencia de los patrones.[3]
La matemtica trata de entes ideales.[4] A travs de ella se pueden establecer correspondencias entre formas, por una parte, y las cosas y procesos pertenecientes a cualquier nivel de la realidad, por la otra. sto explica la paradoja de que, siendo formal, se emplea en la vida cotidiana y en las ciencias fcticas a condicin de que se le superponga reglas de correspondencia adecuada. En sntesis, la matemtica se vincula con la realidad material por medio del puente del lenguaje, tanto el ordinario como el cientfico.[5]
As es como resulta posible la vinculacin y la posterior integracin de la matemtica en las distintas dimensiones del mundo jurdico, que resulta identificable en definitiva por las posibilidades de realizar la justicia en la realidad social y en las normas. ste es un conjunto de repartos de potencia e impotencia, o sea de lo que favorece o perjudica al ser, y a la vida en particular (dimensin sociolgica), captados, es decir descriptos e integrados, por normas (dimensin normolgica), y valorados, los repartos y las normas, por la justicia (dimensin dikelgica).[6]
La profundizacin efectuada por la jurstica en el mundo jurdico permite, adems del enfoque de la complejidad pura del mundo poltico en su totalidad, el reconocimiento de la existencia de una parajusticia y una parajuridicidad que se desarrollan en la utilidad, en la belleza, en la santidad, en la verdad, y respectivamente, en la economa, en el arte, en la religin, en la ciencia, pudiendo apreciarse, sobre todo, resultados significativos logrados en la relacin del Derecho con la literatura.[7]
sto tiene un profundo vnculo con el norte del presente artculo, que consiste en la prudente utilizacin de las herramientas matemticas para su adecuada integracin en el mundo jurdico; consiguiendo, de este modo, una mayor exactitud y claridad principalmente en las abstracciones jurdicas.
II- Desde esta perspectiva interdisciplinaria es interesante la idea que surge de la esfera que aparece en los cuentos El Aleph y La esfera de Pascal de Borges[8], aqulla cuyo centro est en todas partes y la circunferencia en ninguna. Borges advierte aqu: No en vano rememoro esas inconcebibles analogas. Es una analoga muy precisa que aade verosimilitud a la esferita que quiere describir. Para comprender esta idea geomtrica,[9] que en principio parece un juego de palabras, pensemos primero en el plano, en vez de esferas pensemos en crculos. La idea sera la siguiente: todos los puntos del plano son abarcables por crculos crecientes cuyo centro no importa realmente donde est, el centro puede estar en cualquier parte. 
Hago centro en cualquier punto y considero crculos cada vez ms grandes. A medida que aumento el radio esos crculos van ocupando toda la superficie del plano. En ese crculo que se expande indefinidamente, la circunferencia se perder en el infinito. No podemos delimitar ninguna circunferencia. Mediante un salto al infinito puede pensarse que todo el plano es un crculo con centro en cualquier punto y circunferencia en ninguna parte.[10]
Al respecto, la fsica contempornea concibe al universo como una esfera infinitamente expandida, de magnitud infinitesimal y masa infinitamente concentrada que en virtud del Big Bang se expandi en todas las direcciones.[11] Por consiguiente, por contraccin uno puede trasvasar todo el universo a la esfera pequea.
El reconocimiento de la complejidad del universo exige un coraje supremo. Aqullo constituye un requisito para pasar de la complejidad impura (verbigracia: Teora de George Jellinek) a la simplicidad pura (por ejemplo: Teora pura del Derecho de Hans Kelsen) y de sta a la complejidad pura (verbigracia: Trialismo de Werner Goldschimdt). La pureza se aprecia mejor en trminos de valores, en el sentido de la comprensin ms profunda y de la expansin del cosmos. Dada la importancia de la complejidad pura son especialmente significativas las posiciones realistas genticas,[12] que al reconocer que el sujeto no crea al objeto abren cauce al descubrimiento de la complejidad infinita del universo.[13]
Desde esta perspectiva de complejidad pura, el Derecho o poltica jurdica es una de las ramas componentes del mundo poltico.[14] Segn Ciuro Caldani, la Poltica est compuesta por un conjunto de actos de coexistencia (dimensin sociolgica), descritos e integrados por normas (dimensin normolgica), y valorados, los actos y las normas, por los valores de convivencia (dimensin axiolgica). Dicho concepto significa reconocer diferentes ramas en que se desgaja el rbol poltico, cada una con caractersticas especiales en cuanto a la coexistencia, a las normas y a las valoraciones. En ltima instancia, estas ramas responden a uno de los valores superiores que valoran la convivencia: poltica jurdica o Derecho (justicia), poltica cientfica (verdad),[15] poltica artstica (belleza),[16] poltica econmica (utilidad),[17] poltica sanitaria (salud), poltica erolgica (amor),[18] etc.[19] El dilogo integrador entre ellas es uno de los aportes enriquecedores de esta teora tridimensional.
Aplicando al mundo poltico la idea geomtrica de la esfera cuyo centro est en todas partes pero su circunferencia en ninguna,
podemos percibir a las ramas de la Poltica como pequeas esferas formadas
por sus valores distintivos que se expanden infinitamente para formar a aqullas como una galaxia dentro del universo poltico.
Uno podra abstraer esta propiedad curiosa del infinito y pensar en otros objetos, en otras situaciones, en las que una parte del objeto guarda la informacin del todo. Estos son los llamados objetos recursivos.
El Aleph de Borges -la pequea esfera que guarda todas las imgenes del universo- es un objeto ficcional recursivo.[20] As, Borges en el cuento El Aleph juega con el lenguaje mediante el objeto recursivo; de este modo el autor nos demuestra –gracias a la creacin de una ficcin como el aleph- como podemos crear smbolos que causen progresivamente la fabricacin de un lenguaje determinado.
De este modo, cada una de los valores absolutos de las ramas del mundo poltico es un objeto recursivo ya que –por separado- concentran toda la informacin axiolgica de aqullas.
Comparativamente,
podemos imaginar al Derecho con las propiedades de un fractal.[21]
En trminos matemticos
un fractal es una forma que empieza con un objeto –tal como un segmento, un punto, un tringulo-
que es alterado
constantemente por medio de la aplicacin
infinita de una regla determinada. La regla puede describirse
por medio de una frmula matemtica
o por medio de palabras.[22] [23] La
caracterstica distintiva de los fractales consiste
en la autosimilitud;
un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.[24] As, sostemos que el principio general de justicia es el objeto inicial –el pilar- sobre cuya base se construye el fractal que denominamos Derecho,[25] ya que cualquier parte de ste contiene a su esencia, o sea, a dicho principio.[26]
Conforme Cantor en el contexto finito, los conjuntos A y B tienen la misma cantidad de elementos si y slo si puedo establecer una correspondencia perfecta uno a uno entre ellos. Pero cuando nos referimos al infinito uno de los dos conceptos equivalentes, cantidad de elementos, deja de tener sentido. Esta parte ya no la puedo usar, aunque s puedo utilizar la segunda parte de dicho enunciado. Pero entonces comienzan a ocurrir cosas extraas. Porque existe un modo obvio de establecer una correspondencia perfecta uno a uno entre todos los nmeros naturales, los nmeros que usamos para contar, y los nmeros pares. Al 1 le asignamos el 2, al 2 le atribuimos el 4, al 3 el 6, etc. Y aqu, forzados por la definicin de Cantor, decimos de modo opuesto a nuestra intuicin,[27] que hay tantos nmeros naturales como nmeros pares. Sin embargo, los pares son una mitad de los naturales, en el sentido de que los naturales los obtenemos al unir los pares con los impares. Por tanto, existe una parte, los pares, que es tan grande como el todo.[28]
El mundo jurdico es un conjunto desordenado, por tanto Parte General y Parte Especial de cualquiera de sus disciplinas se mezclan inconteniblemente.[29] [30]
Recordando las investigaciones de Husserl sobre la teora de los todos y de las partes, es posible afirmar que el mundo jurdico no tiene pedazos separados, es un todo que en definitiva posee una fundamentacin unitaria referida a un momento de unidad: la justicia.[31] Consecuentemente las tres dimensiones del mundo jurdico no son sus partes, las cuales es necesario sumar para lograr su totalidad: son sus aspectos residiendo en cada uno de ellos el todo.
El mundo jurdico es un conjunto infinito
–significa mayor que cualquier nmero dado de antemano- ya que contiene una variedad de conductas, de normas y de valoraciones donde no es posible determinar su cantidad total; significa algo complejo que puede abarcar hechos de todo tipo.
Confrontemos las conclusiones arribadas por Cantor descriptas precedentemente, con el conjunto denominado mundo jurdico y el conjunto constituido por una de sus partes, verbigracia: la dimensin dikelgica. Como ambos conjuntos son infinitos, la cantidad de elementos deja de tener sentido. Por ende, slo podemos establecer una correspondencia perfecta uno a uno entre ellos. Aqu adquiere relevancia la declinacin trialista, que se manifiesta en el hecho que los diferentes conceptos del mundo jurdico aparecen tres veces, una vez en cada una de las tres dimensiones, y cada vez con las variaciones del caso.[32] As, cada categora de la dimensin sociolgica tiene su equivalente en la totalidad del mundo jurdico ya que tiene sus categoras equivalentes o anlogas en las otras dos dimensiones de ste. Obviamente, esta conclusin es aplicable a cualquiera de las tres dimensiones del mundo jurdico. Por consiguiente, en el mundo jurdico existen partes que son tan grandes como el todo.
Dos observaciones quiero agregar: una sobre la naturaleza del Aleph, otra sobre su nombre. ste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicacin al disco de la historia[33] no parece casual. Para la Cbala esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad. Tambin se dijo que tiene la forma de un hombre que seala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y el mapa del superior. Para la Mengenlehre es el smbolo de los nmeros transfinitos en los que el todo no es mayor que alguna de las partes. La Mengenlehre es la denominacin en alemn de la teora de las cantidades. El smbolo aleph, que los matemticos simplificamos al dibujarlo, se parece a esto: 
.
Un brazo que seala al cielo y el otro que indica a la tierra. El smbolo de los nmeros transfinitos, en los que, como dice Borges, el todo no es mayor que alguna de las partes. Hasta 1870, la poca en que Cantor empieza sus trabajos sobre la teora de conjuntos, los matemticos usaban otro smbolo para el infinito, el 8 acostado,
y pensaban que en realidad haba un nico infinito, no se planteaban la posibilidad de que hubiera diferentes variedades de infinito.[34]
Sobre la base de sus investigaciones sobre los conjuntos infinitos Georg Cantor (1845-1918) fue el primero capaz de formalizar la nocin de infinito bajo la forma de los nmeros transfinitos (cardinales y ordinales). Cantor descubri que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamao, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamao que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por tanto, varios infinitos, ms grandes los unos que los otros.[35]
Consecuentemente podemos identificar el mundo jurdico con el smbolo aleph, ya que puede ser considerado un nmero transfinito, porque, como hemos expresado,[36] el todo –es decir el mundo jurdico- no es mayor que alguna de las partes –las dimensiones de aqul-.
A su vez, matemticamente podemos idear un mtodo que permita ubicar todos los libros jurdicos escritos o por escribirse. A tal fin necesitamos conseguir (imaginariamente) una vara de un metro de largo, que llamamos tablita. En un punto, en el extremo izquierdo, marcamos el nmero 0, y en otro punto, en el extremo derecho colocamos el nmero 1. Luego, designamos a cada letra del alfabeto con un nmero (v.gr: a- 01, b-02, c-03, correlativamente hasta z-27). Al final, agregamos un nmero para que represente un lugar en blanco; a ste asigno el nmero 28. Posteriormente efectuamos la conversin de cada una de las palabras contenidas en todos los libros, utilizando a tal efecto la tablita. Por consiguiente, cada una de las obras tiene determinado algn punto de la vara o tablita (por ejemplo: La lucha por el derecho comienza con la frase La finalidad del derecho es la paz, el medio para ello es la lucha, por tanto dicho libro empieza con el nmero
0,120128060914011209040104280405122804051905030816280 5202812012817012728051228130504091628170119012805121216280520281201281222030801).[37] Todos estos puntos o nmeros de la vara que corresponden a los libros jurdicos escritos o por escribirse son nmeros racionales, es decir, son cocientes de dos nmeros enteros. Por ende, como todos los libros jurdicos que se redactaron o se redactarn terminan en alguna parte, significa que a partir de un momento, el nmero racional que los determina tendr perodo 0 en alguna parte, y en consecuencia, en el denominador slo habr potencias de 2 y de 5, ya que, verbigracia, nunca podr ser como 1/3 o 1/9, que si bien son racionales, terminan en 0,3333 o bien en 0,1111[38]
Segn Luhmann, la teora de la sociedad no puede construirse sobre una metodologa emprica, sino que debe depender de otra perspectiva que l encuentra fuera de la sociologa, en la teora de sistemas, que ha madurado en contacto con la ciberntica, las matemticas, la biologa y otras ciencias.[39]
Un sistema complejo est compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas cuyos vnculos contienen informacin adicional y oculta al observador. Como resultado de las interacciones entre elementos, surgen propiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de las propiedades de los elementos aislados. Dichas propiedades se denominan propiedades emergentes. Por el contrario, el sistema complicado tambin est formado por varias partes pero los enlaces entre stas no aaden informacin adicional. Nos basta con saber cmo funciona cada una de ellas para entender el sistema. En un sistema complejo, en cambio, existen variables ocultas cuyo desconocimiento nos impide analizar el sistema con precisin. As pues, un sistema complejo, posee ms informacin que la que da cada parte independientemente. Para describir un sistema complejo hace falta no solo conocer el funcionamiento de las partes sino conocer como se relacionan entre s. Para realizar predicciones ms o menos precisas de un sistema complejo frecuentemente se han de usar mtodos matemticos como la estadstica, la probabilidad o las aproximaciones numricas como los nmeros aleatorios. stas son las caractersticas de los sistemas complejos: el todo es ms que la suma de las partes, su comportamiento difcilmente predecible, son emergentes, son desiquilibrados, son autoorganizativos, son abiertos y disipativos, sus interrelaciones estn regidas por ecuaciones no-lineales y son adaptativos.[40]
Los factores
que actan en los sistemas complejos
cambian y crecen constantemente. En consecuencia,
un sistema complejo
est siempre en un estado de caos potencial, es decir, al borde del caos. Una dinmica espontnea de auto-organizacin es una parte esencial de cualquier sistema complejo.
Es el medio por el que el sistema recupera
el equilibrio, cambiando
y adaptndose a los factores y circunstancias en constante
cambio. Los que estudian esta nueva ciencia se basen en una enorme cantidad de ideas matemticas y cientficas,
tales como la teora del caos, los fractales, la probabilidad, la inteligencia
artificial, la lgica difusa, etc.[41]
La matemtica actual, junto con otros medios e innovaciones de alta tecnologas, son capaces de crear un marco de referencia acerca de los fenmenos complejos –la sociedad, entre otros- que puede ejercer influencia sobre aspectos esenciales del mundo jurdico. Entre ellos cabe destacar especialmente un conocimiento ms completo y adecuado: de los lmites de los repartos derivados de la naturaleza de las cosas, es decir, de los lmites necesarios, que son aqullos que aunque los repartidores quieran no podrn traspasarlos[42] [43]
y de las categoras pantnomas (pan = todos, nmos = ley que gobierna) bsicas de la dimensin sociolgica del Derecho, que son la causalidad[44], la finalidad objetiva[45], la posibilidad y la realidad.
El tema de lo abstracto y de lo concreto –asunto de estrecha vinculacin con la geometra- tena un particular inters terico para Borges y lo convirti en materia de sus cuentos. En un momento de Funes el memorioso se dice: Una circunferencia en un pizarrn, un tringulo rectngulo, un rombo, son formas que podemos intuir plenamente; lo mismo le pasaba a Irineo con las aborrascadas crines de un potro, con una punta de ganado en una cuchilla, con el fuego cambiante y la innumerable ceniza, con las muchas caras de un muerto en un largo velorio. No s cuntas estrellas vea en el cielo. Para Funes, nos dice Borges, lo concreto y lo abstracto tienen el mismo significado. Lo concreto no llega a consolidarse, a despojarse, a decantarse en lo abstracto. Asimismo, Borges expresa en el ensayo titulado Los laberintos: El laberinto ideal sera un camino recto y despejado de una longitud de cien pasos donde se produjera el extravo por alguna razn psicolgica. Su intencin es llegar a la mxima simplicidad, pero sin perder lo esencial de la nocin de laberinto: el extravo.[46]
Segn la proyeccin ms o menos referida al futuro o al pasado, las normas pueden ser generales, meramente generalizadas o individuales. Estas ltimas son normas categricas, ya que se refieren a los casos pasados, realizando el valor inmediatez. A su vez, las normas generalizadas se refieren a casos futuros dejando abierta la posibilidad de incluir casos no contemplados. En tanto que las normas generales o hipotticas, abarcan casos futuros con un mayor grado de abstraccin, excluyendo la contingencia de incorporar casos no examinados. Las dos categoras realizan en mayor o en menor medida el valor predecibilidad. En fin, se trata de distintos niveles del pensamiento: ms individual o ms general, y ms concreto o ms abstracto. [47]
El juego de Borges en lo tocante a lo abstracto y a lo concreto en la formacin de conceptos es de suma utilidad para el logro de coherencia en la creacin de las normas individuales, meramente generalizadas y generales.
Cada mundo matemtico existe en un sistema matemtico. El sistema establece las reglas bsicas para la existencia de los objetos de su mundo. Un sistema matemtico est compuesto de trminos indefinidos, definiciones, axiomas y teoremas. Los trminos indefinidos son los elementos bsicos del sistema; las definiciones son nuevos trminos que describimos usando trminos indefinidos o trminos definidos previamente; los axiomas
–tambin llamados postulados- son ideas que aceptamos como ciertas sin comprobacin; y los teoremas son ideas que deben ser demostradas por medio del uso de axiomas, definiciones o teoremas existentes.[48]
Todo lenguaje[49] funciona en virtud del cumplimiento de los siguientes requisitos: trminos, son las palabras que emplea el lenguaje; definiciones, que se refieren a los trminos; reglas, que pueden ser gramaticales o de construccin; textos, son cadenas de palabras formadas mediante la aplicacin adecuada de las reglas. Sin embargo, por ms que la nocin de texto (ms generalmente, podemos pensar en producciones del lenguaje) sea anloga a la de teorema, es claro que en la Matemtica los trminos no interesan demasiado. Hace falta que existan trminos para expresar las cosas; no obstante, nada importar el criterio con el que los hayamos establecido.[50]
La base para entender el lenguaje jurdico es la misma que para entender el lenguaje en general. Lingsticamente el lenguaje jurdico no puede distinguirse de, por ejemplo, el lenguaje de la literatura aspecto clave cuando se intenta definir la teora del derecho.[51]
No obstante, coincido con Alchourrn en que no hay una lgica coherente con el lenguaje natural. El lenguaje corriente no slo est plagado de ambigedades, vaguedades y toda suerte de imprecisiones significativas que justifican apartarse de el en los procesos de reconstruccin racional, sino que acumula en su seno intuiciones incompatibles que no pueden superarse ms que reformndolo, abandonando intuiciones que pueden ser muy slidas.[52] Aunque el lenguaje normativo tambin puede padecer dichas imperfecciones. Al respecto Carri dice que el uso incorrecto o el abuso del lenguaje, tanto en la sola expresin gramatical, como en lo que en un sentido amplio se ha llamado los lmites internos y externos del lenguaje normativo producen distintas formas de sinsentido,[53] que incluye lo disparatado y lo absurdo.[54]
Los ordenamientos normativos pueden formarse como un orden o como un sistema.[55] El orden normativo es aquella clase de dicho ordenamiento que se restringe a la mera descripcin normativa del orden de repartos. En caso de carencia de normas en un caso real, su elaboracin incumbe nicamente al legislador general. Por el contrario, el sistema jurdico es aquel tipo del ordenamiento que refleja el orden de repartos en una totalidad normativa, que constituye un ente orgnico autosuficiente (hermeticidad) que se desva en muchos aspectos del orden de repartos, cuyo conocimiento, no obstante, sigue siendo su finalidad principal.[56]
Por consiguiente, la simetra entre los elementos de construccin de ambos mundos (sistema matemtico y sistema normativo) resulta palmaria. As, de una correcta investigacin del universo matemtico hallaremos instrumentos para lograr un mayor grado de precisin en la formacin del sistema normativo.
Por otra parte, es como si el pensamiento matemtico estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por s misma y que slo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros. El conjunto de Mandelbrot (matemtico polaco-estadounidense protagonista de la teora fractal)[57] proporciona un ejemplo sorprendente. Este fractal no es una invencin de la mente humana; fue un descubrimiento. Al igual que el Monte Everest, el conjunto de Mandelbrot est ah.[58]
De modo anlogo, el propio sistema de los nmeros complejos tiene una realidad profunda e intemporal que va bastante ms all de las construcciones mentales de cualquier matemtico particular. Los comienzos de una apreciacin de los nmeros complejos procedan de la obra de Girolamo Cardano (1501-1576) mdico de formacin que escribi un importante e influyente tratado de lgebra, el Ars Magna en 1545. En ste desarroll la primera expresin completa para la solucin (en trminos de radicales, esto es, races nsimas) de una ecuacin cbica general. l haba notado, sin embargo, que en cierto tipo de casos —los llamados "irreducibles", en los que la ecuacin tiene tres soluciones reales— se vea obligado a tomar, en cierto paso de su expresin, la raz cuadrada de un nmero negativo. Aunque esto era un enigma para l, se dio cuenta de que si se permita tomar esa raz cuadrada, y slo entonces, poda expresar la respuesta completa (siendo la respuesta final siempre real). Ms tarde, en 1572, Raphael Bombelli, en una obra titulada l'Algebra, extendi el trabajo de Cardano y comenz el estudio del actual lgebra de los nmeros complejos. Aunque al principio puede parecer que la introduccin de tales races cuadradas de nmeros negativos es slo un artificio —una invencin matemtica diseada para conseguir un determinado propsito— se hizo claro ms adelante que estos objetos consiguen mucho ms que aqullo para lo que fueron diseados originalmente. Como mencion precedentemente, aunque el objetivo original de la introduccin de los nmeros complejos era poder tomar races cuadradas sin problemas, al introducir tales nmeros nos encontramos, como premio aadido, con la potencialidad de tomar cualquier otro tipo de raz o resolver cualquier ecuacin algebraica. Existen otras propiedades mgicas que poseen estos nmeros complejos.[59]
Las verdades de la aritmtica no pueden –en principio- estar confinadas en un sistema formal. Una demostracin matemtica, es siempre una demostracin en, y relativa a, un sistema formal dado, mientras que la verdad, como tal, es absoluta. Gdel prob que la verdad matemtica no es reducible a una demostracin (formal o mecnica). La sintaxis no puede suplantar a la semntica y, por ello, el leitmotiv del siglo XX necesita una revisin.[60]
Hay en tales ideas matemticas una compulsiva unicidad y universalidad que parecen ser de un orden diferente del que se pudiera esperar en las artes o la ingeniera. El punto de vista de que los conceptos matemticos podran existir en ese sentido etreo e intemporal fue planteado en tiempos antiguos (c. 360 a.C.) por Platn. En consecuencia, este punto de vista es calificado a veces de platonismo matemtico.[61]
Segn las ideas del fundador
del Trialismo, a las cuales me adhiero,[62]
ste comulga con el realismo gentico,
que sostiene que el universo existe con independencia del hombre, sea o no de creacin divina. Esta independencia puede ser total (por ejemplo:
la naturaleza)[63] o partial (como es el caso de la cultura)[64].
As, resulta que para el realismo
gentico el conocimiento
de cualquier partcula
de la realidad
es infinito; por ende cada partcula
del universo debe enfocarse desde diversos
ngulos, reinando, consecuentemente,
una pluralidad de mtodos.[65]
Consiguientemente como el Derecho es una ciencia cultural,[66] con el fin de alcanzar
el conocimiento de su objeto es necesaria la utilizacin
de una infinidad
de mtodos de distinta jerarqua.
La justicia
es un valor,[67] por tanto como todo valor es un ente ideal.[68]
Los entes ideales abarcan aquella parte de la realidad
que es slo asequible a la razn. Al ser reales por tanto son objetivos.[69] A su vez los entes ideales pueden ser enunciativos (se exponen en reglas aritmticas,
algebraicas, geomtricas, lgicas,
etc.) o exigentes.
La justicia pertenece
a este ltimo tipo de entes.[70] [71]
Por partir del realismo gentico,
segn el cual el sujeto descubre
(y cuanto ms fabrica) al objeto,[72] [73] el
Trialismo puede considerar
la realidad en su plenitud y al Derecho en su integridad.[74] [75]
As,
las enseanzas de los matemticos platnicos
con relacin al descubrimiento de patrones
u objetos que se encuentran en la naturaleza ideal son tiles para la confirmacin de la objetividad del valor justicia ya que nos demuestran
la realidad de los entes ideales.
Por otra parte, la Teora de juegos[76] es una herramienta til para estudiar como la gente toma decisiones[77] cuando estas afectan a los dems y no slo a ellos, ya aquella Teora es el rea de la matemtica que se ocupa de cmo optimizar ese tipo de toma de decisiones, y se basa en generar y analizar modelos que simulan interacciones entre dos (o ms) partes y en encontrar la estrategia[78] adecuada para obtener un objetivo determinado.[79] [80]
Los juegos estudiados por la teora de juegos estn bien definidos por objetos matemticos. Un juego consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de movimientos (o estrategias) disponible para esos jugadores y una especificacin de recompensas para cada combinacin de estrategias.[81]
Esta rama de la matemtica apareci en 1944 con la publicacin de Teora de juegos y comportamiento econmico, de John von Neumann y Oskar Morgenstern, y luego ocup el centro de la escena mundial cuando la us la RAND Corporation para definir estrategias nucleares. John Nash (premio nobel de economa e inspirador del libro y la pelcula Una mente
Brillante) se hizo famoso por sus aportes a esta teora mediante un concepto organizador de la Teora, conocido actualmente como el Equilibrio de Nash. La Teora de juegos es usada no slo en economa –que es su verdadero origen-, sino tambin en biologa, psicologa, sociologa, filosofa, ciencias polticas, en el campo militar, en inteligencia artificial, en ciberntica y en la vida cotidiana.[82]
Hay dos clases de juegos que plantean una problemtica muy diferente y requieren una forma de anlisis distinta. Si los jugadores pueden comunicarse entre ellos y negociar los resultados se tratar de juegos con transferencia de utilidad (tambin llamados juegos cooperativos), en los que la problemtica se concentra en el anlisis de las posibles coaliciones y su estabilidad. En los juegos sin transferencia de utilidad, (tambin llamados juegos no cooperativos) los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos; es el caso de los juegos conocidos como "la guerra de los sexos", el "dilema del prisionero" o el modelo "halcn-paloma". Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con slo dos jugadores. Pueden ser simtricos o asimtricos segn que los resultados sean idnticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminucin por igual cuanta en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en funcin de sus decisiones.[83] En los juegos biestratgicos, cada jugador puede tener opcin slo a dos o a muchas estrategias. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; stas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repeticin, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser tambin simples o reactivas, si la decisin depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.[84]
La Teora de juegos es un instrumento til para el anlisis de la toma de decisiones en la etapa de negociacin precontractual, para colaborar en la argumentacin jurdica,[85] para la asignacin de responsabilidades y para el estudio de la interaccin de las conductas en el mbito de los procesos judiciales, conciliatorios y arbitrales.
III- Utilizaremos, a continuacin, a la teora de juegos como un ejemplo del uso de la declinacin trialista.[86]
Desde la dimensin sociolgica, el empleo de la Teora de Juegos sirve para una adecuada conjetura[87] de las adjudicaciones –especialmente de los repartos- ya que nos brinda herramientas para predecir[88] las estrategias[89] de los actores -en este caso de los repartidores y recipiendarios- del juego.
La Teora de juegos es ms afn a los repartos autnomos, que se manifiestan en los juegos cooperativos. No obstante, tambin tiene aplicacin en los juegos que se hallan vinculados con repartos autoritarios. Este es el supuesto de los juegos no cooperativos, verbigracia: el modelo "halcn-paloma", donde el halcn simboliza a los repartidores autoritarios.
En cuanto a las caractersticas de los repartos, la Teora de juegos clarifica el carcter de repartidor o recipiendario de los participantes. Especificando, a su vez, la potencia o impotencia del objeto a repartir a travs de pagos o recompensas por cada combinacin de estrategias. Asimismo en relacin con los caminos previos para alcanzar cada clase reparto, el reparto autoritario tiene las figuras extremas del proceso y de la mera imposicin,
y el reparto autnomo tiene como imgenes opuestas la negociacin y la adhesin. A raz del auge de los contratos con condiciones predispuestas que caracteriza a la posmodernidad, resulta de vital trascendencia la utilizacin
de modelos ldicos para lograr la mayor cantidad posible de acuerdos justos obtenidos por va de negociacin. Adems, la Teora de juegos es idnea para otorgar herramientas
a los operadores
jurdicos ayudndolos en la toma de decisin dentro del mbito del proceso.
Por ltimo, esta rama de la matemtica coadyuva a descubrir las razones de los repartos
porque precisamente estimula
el comportamiento racional[90]
de los actores del juego.
En el funcionamiento de los repartos, el repartidor
puede encontrar lmites derivados de la naturaleza de las cosas (necesarios) y lmites establecidos por los propios repartidores
(voluntarios).[91]
[92]
En el campo contractual, la Teora de juegos nos ofrece modelos para fijar estrategias en la negociacin teniendo
en mira la diversidad de lmites -verbigracia: econmicos: cotizacin
de la moneda, estabilidad monetaria, existencia
de rgimen de subsidios a determinadas
empresas; sociales: odio racial, surgido principalmente
de distintas concepciones
discriminatorias- que sufren los repartidores.
En relacin
con la dimensin
normolgica, la funcin descriptiva que cumplen las normas se desdobla a su vez: a- en una descripcin del contenido de la voluntad del autor de la norma, o sea, en una descripcin del pasado; b- en una descripcin del cumplimiento de esa voluntad, o sea, en una descripcin anticipada a modo de pronstico. La obtencin de patrones como consecuencia de la interaccin de los actores del juego colabora con la caracterizacin de fidelidad de la norma (punto a-) y con la identificacin de la exactitud de la norma (punto b-).
En lo tocante al funcionamiento de la norma, la Teora de juegos realiza un aporte fundamental para una correcta interpretacin de la norma[93], ya que sta tiene como meta el logro de la fidelidad mencionada –privilegiando la interpretacin histrica, ya que el principio supremo de toda interpretacin consiste en la lealtad del intrprete con el autor de la norma a interpretar-, y una adecuada argumentacin jurdica. La argumentacin jurdica es el lenguaje del Derecho resultante de la aplicacin actual de normas y principios a la solucin de conflictos tericos y prcticos que la sociedad plantea en el mbito del propio Derecho. El objetivo ltimo de aqulla consiste en la obtencin de una nica respuesta correcta, planteada en este caso, como una idea regulativa que debe presidir todo proceso.[94] Por consiguiente, los encargados del funcionamiento de la norma mediante el uso de los modelos ldicos abstraen razones con el objetivo de optimizar la toma de decisin ante el auditorio.
Las normas generan un mundo de objetos. Entre ellos destacamos los conceptos y a las materializaciones. En efecto, las normas contienen numerosos conceptos, verbigracia: relaciones jurdicas, sujetos de derecho, objetos de derecho, derechos, obligaciones, etctera, con motivo de una captacin correcta del orden de repartos; estos conceptos funcionan como categoras constitutivas de su captacin.[95] [96]
La Teora de juegos permite la refinacin de los conceptos, sobre todo aqullos de carcter negocial, pues utiliza herramientas del mtodo lgico-lingstico.
El complejo
axiolgico del mundo jurdico se constituye
con la justicia
y el resto de los valores con los que sta se vincula.
Dentro de stos el Trialismo reconoce
los valores constitutivos
del Derecho, culminando
los valores respectivos
en la justicia;
que da origen a la llamada dimensin dikelgica del mundo jurdico. El mantenimiento de la complejidad pura del plexo axiolgico se afirma a travs del reconocimiento de relaciones de coadyuvancia y de oposicin entre valores.
La Teora de juegos nos demuestra
que el mbito contractual es propicio para la creacin de valores fabricados, frecuentemente falsificados a travs del secuestro –actualmente motivado en el valor utilidad-[97] operado por medio de la subversin, inversin o arrogacin de unos valores por otros. Consideramos la Teora de Juegos como una herramienta formal que aporta claridad a las complejas situaciones de interaccin que implica problemas de decisin. De esta manera los modelos de la Teora de juegos evidencian cul es la naturaleza del conflicto, pero las soluciones deben ser proporcionadas -de modo definitivo- por el valor justicia.
La justicia
tiene una funcin pantnoma (pantonoma: pan = todo, nomos = ley que gobierna), ya que valora la totalidad
de los repartos
futuros, presentes y pasados. Sin embargo la realizacin de dicha justicia es imposible para el hombre, ya que desconoce el futuro, se le escap el pasado y slo domina imperfectamente
la actualidad. Es por eso que el ser humano se ve forzado a fraccionar. Consiguientemente
la justicia humana es fraccionada. No obstante, la Teora de juegos favorece
el desfraccionamiento del complejo personal,
real, cuantitativo y temporal, cumpliendo as con uno de los postulados del Trialismo, que consiste
en considerar la pantonoma con el mayor alcance posible (que se debe fraccionar cuando no se puede desfraccionar)
y atender, de ese modo, a la complejidad pura.
El contenido de la justicia muestra un principio que exige adjudicar a cada individuo la esfera de libertad necesaria para su personalizacin. A la luz de este principio se advierten los caracteres que deben tener los repartos y los regmenes para ser justos. Este principio arraiga por un lado en el humanismo[98] y por otro lado en la tolerancia. La Teora de juegos es especialmente afn a la tolerancia, pero resulta necesario fortalecer la unicidad proclamada por el humanismo a travs de modelos ldicos que la estimulen.
Como corolario,
resaltamos la necesidad
de utilizar los patrones[99]
o arquetipos ldicos estudiados por la matemtica, que como dijo Whitehead es la creacin ms original de ingenio humano,[100] para innovar en el campo jurdico; a tal fin, empleamos las categoras de la Teora de juegos desde la atalaya trialista.